题目内容

求下列函数的反函数（1） $数学公式$ ；（2）y=x|x|+2x；（3） $数学公式$ ；（4）y=x³-3x²+3x+1；（5）y=log₂（x²+1）（x＜0）

解：（1）∵y= $\text{[math]}$ ，
∴x²+x-y²=0，x≤-1，且y≥0．
∴ $\text{[math]}$ ，
x，y互换，得 $\text{[math]}$ 的反函数为 $\text{[math]}$ ，x≥0；
（2）y=x|x|+2x，
当x≥0时，y=x²+2x，且y≥0，
$\text{[math]}$ ，
x，y互换，得y=x²+2x的反函数为 $\text{[math]}$ ．
当x＜0时，y=-x²+2x，且y＜0，
$\text{[math]}$ ，
x，y互换，得y=-x²+2x的反函数为 $\text{[math]}$ ．
∴y=x|x|+2x的反函数为 $\text{[math]}$ ；
（3） $\text{[math]}$ ，
当0≤x≤1时，y=x²-1∈[-1，0]，
x²=y+1，
x= $\text{[math]}$ ，
x，y互换，得y=x²-1∈[-1，0]的反函数为 $\text{[math]}$ ．
当-1≤x＜0时，y=x²∈（0，1]，
$\text{[math]}$ ，
x，y互换，得y=x²∈（0，1]的反函数为 $\text{[math]}$ ，0＜x≤1．
∴ $\text{[math]}$ 的反函数 $\text{[math]}$ ；
（4）∵y=x³-3x²+3x+1，
∴y-2=x³-3x²+3x-1=（x-1）³，
x-1=（y-2） $\text{[math]}$ ，
∴x=（y-2） $\text{[math]}$ +1，
∴y=x³-3x²+3x+1的反函数是y= $\text{[math]}$ ，x∈R；
（5）∵y=log₂（x²+1）（x＜0）
∴x²+1=2^y，且y＞0
x²=2^y-1，
x=- $\text{[math]}$ ，
x，y互换，得y=log₂（x²+1）（x＜0）的反函数为 $\text{[math]}$ ，x＞0．
分析：已知y=f（x），求y=f^-1（x）的步骤：①把y看成常数，求出x：x=f^-y；②x，y互换，得到y=f^-1（x）；③写出y=f^-1（x）的定义域．由此利用题设条件，能够求出所给函数的反函数．
点评：本题考查反函数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意反函数定义域的求法．