Question

已知点,直线，动点M在直线的右侧，以为圆心的动圆与直线相切，且与以为圆心（半径与⊙相等）的圆外切。

    （Ⅰ）求点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过直线 与轴的交点作直线与点的轨迹交于不同两点、,求的取值范围；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设点关于轴的对称点为,问：直线是否过定点？

        若存在，求此定点的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆的半径为，则点到直线的距离

                    

                     所以点的轨迹是以为焦点、为准线的双曲线右支

                    

                     点轨迹方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，代入双曲线方程消去得

          

           设 则此方程由两个不相等的正实根，

           由得到

          

          

            

          

(Ⅲ)设则

方法1：直线

即，将代入右边再代入整理得

            

           因此，直线过定点

方法2：              

                             

       直线的方程为

       因此，直线过定点（4，0）.