Question

已知，函数．

（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

同下

解析:

（1）解：∵，∴. ………………………1分

∵函数在区间内是减函数，∴在上恒成立．2分

即在上恒成立，………………………3分

，∴．故实数的取值范围为．…………4分

（2）解：∵，令得．………5分

①若，则当时，，所以在区间上是增函数，

所以．………………………………………6分

②若，即，则当时，，所以在区间上是增函数，所以．…………………………7分

③若，即，则当时，；当时，．所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．

所以．………………………8分

④若，即，则当时，，所以在区间上是减函数．

所以．………………………9分

综上所述，函数在区间的最小值………………………10分

（3）解：由题意有两个不相等的实数解，

即（2）中函数的图像与直线有两个不同的交点．………11分

而直线恒过定点，由右图知实数的取值范围是．14分