Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的端点M，N分别位于边AB，BC上，设∠MNB=θ，sinθ=t，MN长度为l．
（1）试将l表示为t的函数l=f（t），并给出这个函数的定义域；
（2）判断这个函数的单调性，并给出证明；
（3）求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出AM、MB，利用AB=6cm，可求函数关系式，利用BN≤12，BM≤6，可得函数的定义域；
（2）求导数，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（2）由（2）可得函数的极值，极值就是最值，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，MB=lsinθ，AM=l•sinθcos2θ，
∵AB=6cm，∴lsinθ+l•sinθcos2θ=6，
∴l=

6

sinθ+sinθcos2θ

=

3

sinθcos2θ

∵sinθ=t，∴l=

3

t(1-t2)

∵BN=lcosθ=

3

sinθcosθ

≤12，BM=lsinθ=

3

cos2θ

≤6
∴sin2θ≥

1

2

，cos2θ≥0
∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

12

≤θ≤

π

4

∴

6 - 2

4

≤sinθ≤

2

2

，
∴函数的定义域为[

6 - 2

4

，

2

2

]；
（2）函数在[

6 - 2

4

，

3

3

]上单调递减，在[

3

3

，

2

2

]上单调递增，证明如下：
求导数可得l′=

3(3t2-1)

[t(1-t2)]2

，令l′=0可得t=±

3

3

∴函数在[

6 - 2

4

，

3

3

]上单调递减，在[

3

3

，

2

2

]上单调递增
（3）由（2）可知，当t=

3

3

时，l取得最小值为

9 3

2

．

点评：本题考查函数模型的构建，考查三角函数知识，考查导数知识的运用，正确确定函数的解析式是关键．