Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设∠MNB=θ，MN=l．
（1）试将l表示成θ的函数；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，则△MNE≌△MNB，EM+BM，由∠MNB=θ，MN=l．由AB=6cm，我们可得EM+AM=6，然后将EM与BM分别用含θ的式子表示，代入即可得到l表示成θ的函数的解析式．
（2）根据（1）的结论，分析θ角的取值范围，利用导数法求出函数的单调性，进而求出l的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题设，如图所示，△NBM≌△NEM，∠MNB=θ，MN=l，
∴∠AEM=90°-2θ，则MB=lsinθ，AM=l•sinθsin（90°-2θ），
由题设得：AM+MB=lsinθ+l•sinθsin（90°-2θ）=6，
从而得l=

6

sinθ+sinθsin(90°-2θ)

，
即：l=

6

sinθ+sinθcos2θ

，l=

3

sinθ•cos2θ

由

BN= 3 sinθcosθ ≤12 BM= 3 cos2θ ≤6 0＜θ＜ π 2

得：

π

12

≤θ≤

π

4

，
故：l表示成θ的函数为：l=

3

sinθ•cos2θ

，（

π

12

≤θ≤

π

4

）．
（Ⅱ）设：sinθ=t则u=t（1-t²）=t-t³，即u=t-t³，

π

12

≤θ≤

π

4

，u′=1-3t²令u′=0，得t=

3

3

当t＜

3

3

时，
u′＞0，当t＞

3

3

时，u′＜0，所以当t=

3

3

时，
u取到最大值：

3

3

-

1

3

3

3

=

2 3

9

，
∴l的最小值为

3

2 3 9

=

9 3

2

．

点评：在求实际问题对应的函数的解析式，我们一定要进一步分析自变量的取值范围，这不仅是为了让函数的解析式更准确，而且为利用函数的解析式求函数的值域，最值、单调性、奇偶性等打好基础．