题目内容

（2011•南昌模拟）已知
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
），且存在实数k和t，使得
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，试求
k+t2
t
的最值．
分析：由
a
•
b
=0可知
a
⊥
b
，再由
x
⊥
y
，可得
x
•
y
=0，即[
a
+(t2-3)
b
]•(-k
a
+ t
b
)=0，化简得k=
t3-3t
4

k+t2
4
=
1
4
(t2+4t-3)，根据二次函数的性质可求最值
解答：解：由题意有|
a
|=
(
3
)2+(-1)2
=2，|
b
|=
(
3
2
)2+(
1
2
)2
=1
因为
a
•
b
=
3
×
1
2
-1×
3
2
=0，故有
a
⊥
b

因为
x
⊥
y
，故
x
•
y
=0
∴[
a
+(t2-3)
b
]•(-k
a
+ t
b
)=0化简得k=
t3-3t
4

k+t2
4
=
1
4
(t2+4t-3)=
1
4
(t+2)2-
7
4

当t=-2时，
k+t2
t
有最小值为-
7
4
点评：本题主要考查了向量的数量积的性质：
a
⊥
b
?
a
•
b
=0的应用，还考查了利用二次函数的性质求解函数的最值，体现了转化思想在解题中的应用．
练习册系列答案
相关题目
（2011•南昌模拟）在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为
（
2
，
3
）
（
2
，
3
）
．
（2011•南昌模拟）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f(x0)]2=
x
4
0
1+
x
2
0
．

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