题目内容

直线L的方程为 $数学公式$ ，其中p＞0；椭圆E的中心为 $数学公式$ ，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为 $数学公式$ ，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．

解：因为椭圆上有四个不同的点到点A的距离等于该点到直线L的距离相等，
所以由抛物线的定义知：这四个不同的点在是以A为焦点的抛物线，所以点P的方程为y²=2px．
又根据题意，椭圆的方程为：（x-2- $\text{[math]}$ ）²+4y²=4，
则联立椭圆与抛物线的方程，消去y，
可得：x²-（4-7p）x+2p+ $\text{[math]}$ =0，此方程必有正实数根，
所以△=（4-7p）²-4（2p+ $\text{[math]}$ ）≥0，且4-7p＞0，p＞0，
解得：0＜p＜ $\text{[math]}$ ．
故p在（0， $\text{[math]}$ ）范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．
分析：根据到点A的距离等于该点到直线L的距离的点的轨迹是以A为焦点的抛物线，并且轨迹方程为y²=2px．利用椭圆的几何性质得到椭圆的方程，又根据题意可得：抛物线与椭圆相交，进而得到相应的方程组有实数解，从而得出p的取值范围．
点评：本题考查抛物线定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且也考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答．

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给出如下几个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”
③若直线l过点A（1，2），且它的一个方向向量为

=(1，2)，则直线l的方程为2x-y=0．
④复数z=

-1（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限
⑤在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞

”的充分不必要条件．
其中正确的命题的个数是

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 M=

a	0
0	b

（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：

+y2=1，求a，b的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

(∂为参数)．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式|2x-1|＜1的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

（2013•泰安二模）过点P（1，-2）的直线l将圆x²+y²-4x+6y-3=0截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l的方程为

直线L的方程为

，其中p＞0；椭圆E的中心为

，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为

，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．