Question

 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁ 的中点．

   （1）求证：EF∥平面ACD₁；

   （2）求面EFB与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、

C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、

E（1，0，2 ）、F（0，2，1）．

   （1）取AD₁中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），

又=（-1，2，-1），由=，

∴与共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，

∵CG平面ACD₁，EF平面ACD₁，

∴EF∥平面ACD₁. ………………………（6分）

   （2）设面EFB的一个法向量，

由得，故可取，………（8分）

取底面ABCD的一个法向量，由，

所成的锐二面角余弦值的大小为．…………（12分）