Question

对于下列命题：
①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）为奇函数；
②函数y=cos|x|是最小正周期为π的周期函数；
③

lim

x→

∞（

x2+x

-x）=

1

2

；
④函数y=x|x|在x=0处连续且可导．
其中正确命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：依次分析命题：①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）=

sinx，k是奇数 -sinx，k是偶数

，为奇函数，成立；②函数y=cos|x|是最小正周期为2π的周期，故②不成立；③

lim

x→∞

(

x2+x

-x)=

lim

x→∞

( x2+x -x)( x2+x +x)

x2+x +x

，

lim

x→∞

x

x2+x +x

=

1

2

，故③成立；④函数y=x|x|在x=0处连续且可导，成立．综合可得答案．

解答：解：①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）=

sinx，k是奇数 -sinx，k是偶数

，为奇函数，成立；
②函数y=cos|x|是最小正周期为2π的周期函数，故②不成立；
③

lim

x→∞

(

x2+x

-x)=

lim

x→∞

( x2+x -x)( x2+x +x)

x2+x +x

lim

x→∞

x

x2+x +x

=

1

2

，故③成立；
④函数y=x|x|在x=0处连续且可导，成立．
故答案：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意函数的连续性和极限的灵活运用．