Question

已知函数f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

，对于下列命题：
①函数f（x）是奇函数；
②直线x=

1

2

是函数f（x）图象的对称轴；
③对任意x∈R，f（x）满足|f（x）|＜1；
④对任意x∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x）＜0．
其中正确命题为

 

（写出命题序号即可）．

Answer 1

分析：①根据函数的解析式求得函数的定义域，根据奇函数的定义，验证f（-x）=-f（x），可知该命题的正误；
②根据轴对称图形的定义，在函数f（x）图象上任取点P（x，y），求出点P关于直线x=

1

2

的对称点是P′（1-x，y），验证点P′在函数的图象上即可；
③根据二次函数的最值和不等式的基本性质，可以求出x²+1≥1；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，注意等号成立的条件，从而求得

1

(x2+1)(x2-2x+2)

的范围，根据正弦函数的有界性，从而求得结论正确；
④对函数求导，求出f′（-

1

2

）＜0，

lim

x→0

πcosπx[(x2+1)(x2-2x+2)]-sinπx[2x(x2-2x+2)+(x2+1)(2x-2)]

[(x2+1)(x2-2x+2)] 2

=2π＞0，从而可知?x₀∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x₀）=0．可知该命题错误．

解答：解：①函数的定义域为R，f（-x）=

sin(-πx)

[(-x)2+1][(-x)2-2(-x)+2]

=

-sinπx

(x2+1)(x2+2x+2)

≠-f（x）
∴函数f（x）不是奇函数故①错；
②在函数f（x）图象上任取点P（x，y），则点P关于直线x=

1

2

的对称点是P′（1-x，y）
而f（1-x）=

sinπ(1-x)

[(1-x)2+1][(1-x)2-2(1-x)+2]

=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

=y
∴直线x=

1

2

是函数f（x）图象的对称轴；故②正确；
③∵x²+1≥1，当x=0时等号成立；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，当x=1时等号成立，
∴（x²+1）[（x-1）²+1]＞1，∴0＜

1

(x2+1)(x2-2x+2)

＜1，
而|sinπx|≤1，∴

|sinπx|

(x2+1)(x2-2x+2)

＜1，即|f（x）|＜1；故③正确；
④f′（x）=

πcosπx[(x2+1)(x2-2x+2)]-sinπx[2x(x2-2x+2)+( x2+1)(2x-2)]

[(x2+1)(x2-2x+2)] 2

f′（-

1

2

）=

-( 1 4 +1+2)+( 1 4 +1)(-1-2)

[( 1 4 +1)( 1 4 +1+2)]2

＜0，
而

lim

x→0

f′(x)=

πcosπx[(x2+1)(x2-2x+2)]-sinπx[2x(x2-2x+2)+(x2+1)(2x-2)]

[(x2+1)(x2-2x+2)] 2

=2π＞0，
?x₀∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x₀）=0．故④错
故正确命题为②③
故答案为：②③．

点评：本题考查函数的奇偶性的定义和对称性以及函数的值域的求法，导数的除法运算法则等知识，综合性强，考查灵活应用知识分析解决问题的能力，和运算能力，其中命题④计算量大，增加了试题的难度．属中档题．