Question

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=4，a2=

5

2

，an+1=

an+bn

2

，bn+1=

2anbn

an+bn

．
（Ⅰ） 证明：a_nb_n=4
（Ⅱ） 证明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（Ⅲ）设cn=log3

an+2

an-2

，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知条件，两式相乘，可得{a_nb_n}为常数列，从而可得结论；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知bn=

4

an

，则an+1=

1

2

(an+

4

an

)＞2，利用基本不等式可得结论；
（Ⅲ）利用cn=log3

an+2

an-2

，代入计算，可得{c_n}为等比数列，从而可得数列{c_n}的通项公式．

解答：（Ⅰ）证明：∵an+1=

an+bn

2

，bn+1=

2anbn

an+bn

∴两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，
∴{a_nb_n}为常数列，
∴a_nb_n=a₁b₁=4；…（4分）
（Ⅱ） 证明：由（Ⅰ）知bn=

4

an

，
∴an+1=

1

2

(an+

4

an

)＞2（若a_n=2，则a_n+1=2，从而可得{a_n}为常数列与a₁=4矛盾），
∴a_n＞2，∴0＜b_n＜2；…（8分）
（Ⅲ）解：∵cn=log3

an+2

an-2

，
∴cn+1=log3

an+1+2

an+1-2

=log3

1 2 an+ 2 an +2

1 2 an+ 2 an -2

=log3(

an+2

an-2

)2=2log3(

an+2

an-2

)=2cn
又因为c₁=1，∴{c_n}为等比数列，
∴cn=2n-1…（15分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查基本不等式的运用，属于中档题．