Question

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₃，a₉成等比数列，S₅=a₅²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

n2+n+1

anan+1

，求数列{b_n}的前99项的和．

Answer 1

分析：（1）设出数列的公差，利用等比中项的性质推断出a₃²=a₁a₉，利用等差数列的通项公式表示出等式求得a₁=d，利用求和公式表示出
S₅，建立等式求得a₁和d另一等式，联立求得a₁和d则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中数列{a_n}的通项公式代入b_n，整理后利用裂项法求得数列的前99项的和．

解答：解：（1）设数列{a_n}公差为d（d＞0），
∵a₁，a₃，a₉成等比数列，∴a₃²=a₁a₉．
（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），d²=a₁d．
∵d≠0，∴a₁=d．①
∵S₅=a₅²，∴5a₁+

5×4

2

•d=（a₁+4d）²．②
由①②得a₁=

3

5

，d=

3

5

．
∴a_n=

3

5

+（n-1）×

3

5

=

3

5

n．
（2）b_n=

n2+n+1

3 5 n• 3 5 (n+1)

=

25

9

•

n2+n+1

n(n+1)

=

25

9

(1+

1

n

-

1

n+1

)，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₉₉=

25

9

[99+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

99

-

1

100

）]
=

25

9

（100-

1

100

）=

1111

4

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的求法和前n项的和公式的应用．考查了学生基础知识的综合运用．