Question

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第l年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第2年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2…以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额．
（1）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

Answer 1

分析：（1）根据在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到结论；
（2）根据已知中T_n所表示的实际意义，根据T_n表示到第n年末所累计的储备金总额，及储备金总额的计算方法计算T_n，然后对其进行分解，并对分解结合等差数列等比数列的定义进行分析，不难得到结果．

解答：解：（1）根据在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变成a₂（1+r）^n-2，…，我们有T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
（2）T₁=a₁，对n≥2反复使用上述关系式，得T_n=T_n-1（1+r）+a_n=T_n-2（1+r）²+a_n-1（1+r）+a_n=…=a₁（1+r）^n-1+a₂（1+r）^n-2+…+a_n-1（1+r）+a_n，①
在①式两端同乘1+r，得（1+r）T_n=a₁（1+r）ⁿ+a₂（1+r）^n-1+…+a_n-1（1+r）²+a_n（1+r）．②
②-①，得rT_n=a₁（1+r）ⁿ+d[（1+r）^n-1+（1+r）^n-2+…+（1+r）]-a_n
=

d

r

[（1+r）^n-1-r]+a₁（1+r）ⁿ-a_n，
即T_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ-

d

r

n-

a1r+d

r2

如果记A_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ，B_n=-

d

r

n-

a1r+d

r2

，则T_n=A_n+B_n，
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

（1+r）为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

为首项，-

d

r

为公差的等差数列．

点评：本题考查数列模型的构建，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确构建数列模型．