Question

已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）
（I）若函数f（x）在区间[e²，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整数k的值．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f^′（x）=lnx+a+1
∵函数f（x）在区间[e²，+∞）上为增函数，
∴当x∈[e²，+∞）时f^′（x）≥0，
即lnx+a+1≥0在区间[e²，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx．
又当x∈[e²，+∞）时，
lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．
∴a≥-3；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，
即x•lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，
也就是k（x-1）＜x•lnx+ax-ax+x恒成立，
∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．
则问题转化为k＜

x•lnx+x

x-1

对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设函数h（x）=

x(lnx+1)

x-1

，则h′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
再设m（x）=x-lnx-2，则m′(x)=1-

1

x

．
∵x∈（1，+∞），∴m^′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，
∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．
∴?x₀∈（3，4），使m（x₀）=x₀-lnx₀-2=0．
∴当x∈（1，x₀）时，m（x）＜0，h^′（x）＜0，∴h(x)=

x(1+lnx)

x-1

在（1，x₀）上递减，
x∈（x₀，+∞）时，m（x）＞0，h^′（x）＞0，∴h(x)=

x(1+lnx)

x-1

在（x₀，+∞）上递增，
∴h（x）的最小值为h（x₀）=

x0(1+lnx0)

x0-1

．
∵m（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，∴lnx₀+1=x₀-1，代入函数h（x）=

x(lnx+1)

x-1

得h（x₀）=x₀，
∵x₀∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴k＜h（x）_min=x₀，∴k≤3，
∴k的值为1，2，3．