Question

(重庆五校模拟)已知函数满足，a≠0，f(1)=1；且使f(x)=2x成立的实数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若数列满足，，，，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：，．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由，，a≠0， 得．(1分) 由f(1)=1， 得a=2b＋1．　　　　(2分) 由f(x)=2x只有一解，即，也就是只有一解， ∴， ∴b=－1．　　　　　　　　(3分) ∴a=－1．故．　　(4分) (2)∵，， ∴，， ，　　　(5分) 猜想，．　　(6分) 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边，右边， ∴命题成立．　　(7分) ②假设n=k时，命题成立，即； 当n=k＋1时，， ∴当n=k＋1时，命题成立．　　　(8分) 由①，②可得，当时，有． ∵， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为．(9分) (3)∵， ∴　　　　　(10分) 　　　　　(12分)