Question

【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），满足f(0)=g(0)；

函数F(x)=f(x)+g(x)+b定义域为D．

（1）求a的值；

（2）若存在x0∈D，使F(x0)=x0成立，求实数b的取值范围；

（3）若n为正整数，证明：＜4．

（参考数据：lg3=0.3010， =0.1342，=0.0281， =0.0038）

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.

【解析】

（1）由f（0）=g（0），解方程可得a=1；

（2）求得f（x）+g（x）+b的解析式，由条件讨论x≥1，x＜1时，分离参数，解不等式可得b的范围；（3）设，由n为正整数，化简G（n），讨论G（n）的单调性，即可得证．

（1）∵f（0）=g（0），即|a|=1，又a＞0，∴a=1．

（2）由（1）知，f（x）+g（x）+b=．

当x≥1时，有x2+3x+b=x，即b=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1．

∵x≥1，∴﹣（x+1）2+1≤﹣3，此时b≤﹣3．

当x＜1时，有x2+x+2+b=x，即b=﹣x2﹣2

∵x＜1，∴﹣x2﹣2≤﹣2，此时b≤﹣2．

故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，

则实数b的取值范围应（﹣∞，﹣2].

（3）证明：设，

由为正整数， 所以，

所以，

当时，，即，

即，所以，

由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；

当n≥4时，G（n）单调递减．（13分）

∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．

又，，

所以.