Question

（1）（用综合法证明） 若a＞0，b＞0，求证：(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4
（2）（用反证法证明） 已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证：

1+x

y

与

1+y

x

中至少有一个小于2．

Answer 1

分析：（1）根据a＞0，b＞0，可得a+b≥2

ab

，同理可证

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，相乘即得所证．
（2）假设

1+x

y

与

1+y

x

 都大于或等于2，可得

1+x≥2y 1+y≥2x

，从而推出x+y≤2，这与x+y＞2矛盾，故假设不成立，
命题得证．

解答：解：（1）证明：∵a＞0，b＞0，
∴a+b≥2

ab

，（当且仅当a=b时，取“=”号）…（2分）
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，∴(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4． …（6分）
（2）假设：

1+x

y

与

1+y

x

 都大于或等于2，
∵x，y∈R^*，∴

1+x≥2y 1+y≥2x

，
∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾，…（11分）
∴假设不成立．
所以，

1+x

y

与

1+y

x

中至少有一个小于2．   …（12分）

点评：本题考查用综合法法和反证法证明不等式，用反证法证明数学命题时，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．