题目内容

（1）（用综合法证明）若a＞0，b＞0，求证： $数学公式$
（2）（用反证法证明）已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证： $数学公式$ 与 $数学公式$ 中至少有一个小于2．

解：（1）证明：∵a＞0，b＞0，
∴ $\text{[math]}$ ，（当且仅当a=b时，取“=”号）…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ． …（6分）
（2）假设： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都大于或等于2，
∵x，y∈R^*，∴ $\text{[math]}$ ，
∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾，…（11分）
∴假设不成立．
所以， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中至少有一个小于2． …（12分）
分析：（1）根据a＞0，b＞0，可得 $\text{[math]}$ ，同理可证 $\text{[math]}$ ，相乘即得所证．
（2）假设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都大于或等于2，可得 $\text{[math]}$ ，从而推出x+y≤2，这与x+y＞2矛盾，故假设不成立，
命题得证．
点评：本题考查用综合法法和反证法证明不等式，用反证法证明数学命题时，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．