题目内容
设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax．（1）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
分析：（1）先求原函数的导函数，根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，求出参数a即可；
（2）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在．
（2）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在．
解答：解：f′（x）=18x2+6（a+2）x+2a
（1）由已知有f′（x1）=f′（x2）=0，
从而x1x2=
=1，
所以a=9；
（2）由△=36（a+2）2-4×18×2a=36（a2+4）＞0，
所以不存在实a，使得f（x）是R上的单调函数．
（1）由已知有f′（x1）=f′（x2）=0，
从而x1x2=
| 2a |
| 18 |
所以a=9；
（2）由△=36（a+2）2-4×18×2a=36（a2+4）＞0，
所以不存在实a，使得f（x）是R上的单调函数．
点评：本题主要考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识，是高考中常考的问题，属于基础题．
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