Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值
（3）若对任意x∈（0，m），都有f（x）＜6x恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f′（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；
（2）先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值；
（3）令g（x）=f（x）-6x=2x³-18x＜0，求出解集，使得（0，m）是g（x）＜0的子集即可，从而求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，
∴c=0，
∵f′（x）=3ax²+b的最小值为-12，
∴b=-12，
又直线x-6y-7=0的斜率为

1

6

，则切线的斜率为-6，
∴f′（1）=3a+b=-6，
∴a=2，b=-12，c=0；
（2）∵f（x）=2x³-12x，
∴f′（x）=6x²-12=6（x+

2

）（x-

2

），列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞），
∵f（-1）=10，f（

2

）=-8

2

，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是-8

2

；
（3）∵对任意x∈（0，m），都有f（x）＜6x恒成立，
∴令g（x）=f（x）-6x=2x³-18x＜0，
解得x＜-3，或0＜x＜3，
∴对任意x∈（0，m），都有f（x）＜6x恒成立，则m的范围是（0，3]．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．属于中档题．