Question

已知双曲线C：（a>b>0)的一个焦点为，离心率为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若动点P(x₀,y₀)为双曲线外一点，且点P到双曲线C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

Answer 1

（1）
（2）x²+y²=5

（1）设双曲线C的半焦距为c,则，，所以a=3,从而b²=c²-a²=4,故双曲线C的方程是。
（2）依题意，过点P引双曲线的两条相互垂直切线的斜率存在且不为0，不妨设切线的斜率为k，则过点P的切线方程为y-y₀=k(x-x₀).
联立方程组得（4-9k²)x²-18k(y₀-kx₀)x-9(y₀-kx₀)²-36=0,
因为直线与双曲线相切，
故，
即(x₀²-9)k²-2x₀y₀k+y₀²+4=0
因为两条切线相互垂直，所以k₁k₂=-1,即，故x₀²+y₀²=5.
所以点Ｐ的轨迹方程为x²+y²=5.