Question

下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a_n，b_n，c_n）．
（1）请写出c_n的一个表达式，c_n=

2ⁿ+n

；
（2）若数列{c_n}的前n项和为M_n，则M₁₀=

2101

．（用数字作答）

Answer 1

分析：（1）分析每个数组的中间项，即b_n可得b_n=2ⁿ，再分析每一个数组中第三项与第二项的关系，可得c_n=b_n+n，又由b_n=2ⁿ，可得答案，
（2））由（1）可得c_n=2ⁿ+n，用分组求和法可得M₁₀=（2¹+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+4+…+10），结合等差数列、等比数列的前n项和公式，计算可得答案．

解答：解：（1）分析每个数组的中间项，即b_n可得，
b₁=2，b₂=4，b₃=8，b₄=16，…，
易得b_n=2ⁿ，
第一个数组中有c₁=b₁+1，
第二个数组中有c₂=b₂+2，
第三个数组中有c₃=b₃+3，
…
以此类推，可得c_n=b_n+n，
又由b_n=2ⁿ，则c_n=2ⁿ+n，
（2）由（1）可得c_n=2ⁿ+n，
M₁₀=c₁+c₂+c₃+…+c₁₀=（2¹+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+4+…+10）=

2(1-210)

1-2

+

10(1+10)

2

=2101，
故答案为（1）2ⁿ+n，（2）2101．

点评：本题考查等比数列、等差数列的求和，涉及归纳推理的运用，解题的关键是运用归纳推理，得到c_n的关系式．