Question

（本题满分14分） 圆的半径为3，圆心在直线上且在轴下方，轴被圆截得的弦长为。（1）求圆的方程；

（2）是否存在斜率为1的直线，使得以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）∵圆心在直线上且在轴下方,

∴设，又∵圆的半径为3，且轴被圆截得的弦长为

∴，解得

∴C（1，-2）

圆C的方程是（X-1）²+（Y+2）²=9

（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则

OAOB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x₁x₂+ y₁y₂=0      ①

由得

要使方程有两个相异实根，则

△=＞0  即<b< 

  

由y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，代入x₁x₂+  y₁y₂=0，得2x₁x₂+（x₁+x₂）b+b²=0

即有b²+3b-4=0，b=-4,b=1

故存在直线L满足条件，且方程为或