Question

已知一椭圆经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点
（1）求椭圆方程；
（2）若P为椭圆上一点，且，P，F₁，F₂是一个直角三角形的顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求|PF₁|：|PF₂|的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，可设所求椭圆方程为 

x2

m

+

y2

m+5

=1(m＞0)，代入（2，-3）点，解得m=10，或m=-2（舍），得到所求方程．
 （2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，|PF2|=

b2

a

=

2

3

15

，由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|=

4

3

15

，
于是|PF₁|：|PF₂|=2． ②若∠F₁PF₂=90⁰，则

|PF1|+|PF2|=2 15  |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20

，

a+b = 2 5 a2 +b2 = 20

，a2+(2

15

-a)2 =20，由△＜0 知无解，即这样的三角形不存在．

解答：解：（1）∵9x2+4y2=36∴a=3，b=2，c=

5

，
与之有共同焦点的椭圆可设为

x2

m

+

y2

m+5

=1(m＞0)，代入（2，-3）点，
解得m=10，或m=-2（舍），故所求方程为

x2

10

+

y2

15

=1．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，
则|PF2|=

b2

a

=

10

15

=

2

3

15

∴|PF1|=2a-|PF2|=2

15

-

2

3

15

=

4

3

15

，
于是|PF₁|：|PF₂|=2．
②若∠F₁PF₂=90⁰，则

|PF1|+|PF2|=2 15  |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20

，

a+b = 2 5 a2 +b2 = 20

，a2+(2

15

-a)2 =20，
∵△＜0，∴无解，即这样的三角形不存在，
综合1，2 知，|PF₁|：|PF₂|=2．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出|PF₁|和|PF₂|的值，是解题的关键．