Question

（本小题满分10分）经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点．
（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；[
（2）当恰为的中点时，求直线的方程；
（3）当时，求直线的方程；
（4）当变化时，求弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

，
弦的中点的轨迹方程为；

（1）的参数方程（为参数）．       …………1分
曲线化为：，将直线参数方程的代入，得          
 
∵恒成立，               ………………3分
∴方程必有相异两实根，且，．
∴
∴当时，．                 ………………5分
（2）由为中点，可知，
∴，
故直线的方程为．                ………………7分
（3）∵，得
∴,
∴或
故直线的方程为或          ………………9分
（4）∵中点对应参数
∴（参数 ），消去，得
弦的中点的轨迹方程为；
轨迹是以为圆心，为半径的圆．            ………………10分