Question

 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．

Answer 1

【答案】分析：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，-2），再根据 =-0，可得 ⊥，
可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d= 的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．
解答：解：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．
∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．
令v=1，可得 u=2，w=-2，可得=（2，1，-2）．
由于=（-1，0，-1），∴=-0，故有 ⊥．
再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．
由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，
故直线BC′到平面D′AC的距离为．
点评：本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．