Question

如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,AB＝BC＝1，BB₁＝2，连接B₁C，过B作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F,

(1)求证：A₁C⊥平面EBD；

(2)求点A到平面A₁B₁C的距离：

(3)求直线DE与平面 A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

解：如图建立空间直角坐标系A－xyz．

(1)A(0，0，0，)，A₁(0，0，2)，E(1，1，)B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，

.

，

即A₁C⊥BE，A₁C⊥DE．

∵BE∩DE＝E所以A₁C⊥平面EBD．

(2)设平面A₁B₁C的一个法向量为m＝(x，y，z)，

则，，令z＝1，得m＝(0，2，1)．

=(0，0，2)，

所以，所求的距离为．

(3)由(2)知，m＝(0，2，1)．，

设与m所成角为，则．

所以直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值为.