题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）在（0，2）上的最小值；
（2）设g（x）=-x²+2mx-4，若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）求导函数，可得 $\text{[math]}$
∵0＜x＜2，令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜1
∴函数f（x）在（0，2）上的单调递增区间是（1，2），单调递减区间是（0，1）
∴函数f（x）在x=1处，取得极小值，且为最小值 $\text{[math]}$
（2）由（1）知，f（x）_min= $\text{[math]}$
对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等价于-x²+2mx-4 $\text{[math]}$ ，x，∈[1，2]恒成立．
∴ $\text{[math]}$ ，x，∈[1，2]恒成立．
∵ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时取等号
∴ $\text{[math]}$
∴实数m的取值范围为 $\text{[math]}$
分析：（1）求导函数，确定函数f（x）在（0，2）上的单调性，从而可得函数f（x）的极小值，即可求出最小值；
（2）由（1）知，f（x）_min= $\text{[math]}$ 对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等价于-x²+2mx-4 $\text{[math]}$ ，x，∈[1，2]恒成立，利用分离参数法及基本不等式，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是利用导数确定函数的单调性与最值．