题目内容

设a＞0，a≠1,0＜x＜1，求证：|loga(1-x)|＞|loga(x+1)|.

思路解析：直接作差不方便，可以先平方去掉绝对值符号后作差比较；也可以考虑换底以确定两式的符号后再比较；或者考虑作商比较.

证法一：平方后作差.loga2（1-x）-loga2(x+1)

=［loga(1-x)+loga(x+1)］［loga(1-x)-loga(x+1)］

=loga(1-x2)·loga.

当a＞1时，loga（1-x2）＜0,loga＜0,

∴loga2(1-x)-loga2(x+1)＞0,即|loga(1-x)|＞|loga(x+1)|;

当0＜a＜1时，loga(1-x2)＞0,loga＞0,

∴loga2(1-x)-loga2(x+1)＞0,即|loga(1-x)|＞|loga(x+1)|.

综上，所证不等式成立.

证法二：∵0＜x＜1,∴lg(1-x)＜0,lg(1+x)＞0,lg(1-x2)＜0.

∴|loga(1-x)|-|loga(x+1)|=-

=［-lg(1-x)-lg(1+x)］=-＞0,

故|loga(1-x)|＞|loga(x+1)|.

证法三：=|log(1+x)(1-x)|.

∵1+x＞1,0＜1-x＜1,∴原式=-log(1+x) (1-x)=log(1+x)=log(1+x)=1-log(1+x)(1-x2).

∵0＜1-x2＜1,1+x＞1,∴log(1+x)(1-x2)＜0.

∴|loga(1-x)loga(1+x)|＞1.∴|loga(1-x)|＞|loga(x+1)|.

练习册系列答案
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设a＞0，a≠1，函数f(x)=ax2+x+1有最大值，则不等式loga(x2-x)＞0的解集为
(
1-
5
2
，0)∪(1，
1+
5
2
)
(
1-
5
2
，0)∪(1，
1+
5
2
)
．
设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f(
1
2
)=0，f（logat）＞0，则t的取值范围是（　　）

设a＞0且a≠1，f(x)＝loga(x＋)，(x≥1)．

(1)求f(x)的反函数f－1(x)和反函数的定义域；

(2)若，f－1(n)＜，求a的取值范围．
设a＞0且a≠1,0＜x＜1，试比较|loga(1-x)|和|loga(1+x)|的大小.

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