题目内容

（14分）已知（其中e为自然对数的底数）。

（1）求函数上的最小值；

（2）是否存在实数处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

 

【答案】

 

（1）当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为

（2）故不存在，使曲线处的切线与轴垂直

【解析】解：（1）

令，得…………1分

①若，则在区间上单调递增，此时函数无最小值

……2分

②若时，，函数在区间上单调递减

当时，，函数在区间上单调递增

时，函数取得最小值…………4分

③若，则，函数在区间上单调递减

时，函数取得最小值…………5分

综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为…………6分

   （2）

    ……7分

由（1）可知，当

此时在区间上的最小值为

即…………9分

当，

…………12分

曲线y在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解

而，即方程无实数解

故不存在，使曲线处的切线与轴垂直…………

 

 

练习册系列答案
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（2012•陕西三模）已知a＞0，函数f(x)=
ax
+lnx-1（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4，当a=1时，若对任意x1∈（0，e），存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
若存在实数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x同时满足：f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b，则称直线：l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x2，g（x）=2elnx（其中e为自然对数的底数）．试问：
（1）函数f（x）和g（x）的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；
（2）函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数，其中a>0.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数a的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最大值（其中e为自然对的底数）。

 

若存在实数k，b，使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足：，则称直线：为函数的“隔离直线”。已知（其中e为自然对数的底数）。试问：

   （1）函数的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；

   （2）函数是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由。

 

(本大题满分13分)
若存在常数k和b (k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知， (其中e为自然对数的底数)．
(1)求的极值；
(2)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

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