Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，a₂=9，且a₁a₃=65．数列前n项和S_n满足2S_n=3ⁿ⁺¹-3（n∈Nⁿ）
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n）的前n项和T_n
（III）设，若d_2k+1＞d_2k对k∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵a₂=9，a₁a₃=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵d＞0，∴d=4，∴a₁=5，∴a_n=4n+1；
∵2S_n=3ⁿ⁺¹-3，∴n≥2时，b_n=S_n+1-S_n=3ⁿ
又n=1时，b₁=3，∴b_n=3ⁿ；
（II）c_n=a_nb_n=（4n+1）•3ⁿ
∴T_n=5×3+9×3²+…+（4n+1）•3ⁿ①
∴3T_n=5×3²+9×3³+…+（4n-3）•3ⁿ+（4n+1）•3ⁿ⁺¹②
②-①整理可得2T_n=-15-4×3²-4×3³-…-4•3ⁿ+（4n+1）•3ⁿ⁺¹=4+（4n-1）•3ⁿ⁺¹
∴T_n=
（III）∵，d_2k+1＞d_2k对k∈N^*恒成立，
∴3^2k+1+（-1）^2k（2^2k+2+2）λ＞3^2k+（-1）^2k-1（2^2k+1+2）λ
∴对k∈N^*恒成立，
令f（k）=，则f（k+1）-f（k）==＜0
∴函数是减函数，∴k=1时，f（k）_max=-
∴λ＞．
分析：（I）利用a₂=9，a₁a₃=65可求数列{a_n}的通项公式；利用2S_n=3ⁿ⁺¹-3，再写一式，两式相减，可求数列{b_n}的通项公式；
（II）利用错位相减法，可求数列{c_n）的前n项和T_n；
（III），d_2k+1＞d_2k对k∈N^*恒成立，等价于对k∈N^*恒成立，求出右边的最大值，即可求λ的取值范围．
点评：本题考查数列的通项，考查错位相减法，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值是关键．