若对任意的x∈A.y∈B..有唯一确定的f(x.y)与之对应.则称f(x.y)为关于x.y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f(x.y)为关于实数x.y的广义“距离 :≥0.当且仅当x=y时取等号,=f(y.x),≤f对任意的实数z均成立．今给出下列四个二元函数:①f(x.y)=|x-y|, ②f2,③f(x.y)=x-y, ④f(x.y)=x2+y2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2011•晋中三模）若对任意的x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R），有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出下列四个二元函数：①f（x，y）=|x-y|； ②f（x，y）=（x-y）²；
③f(x，y)=

x-y

； ④f（x，y）=x²+y²．
能够称为关于实数x、y的广义“距离”的函数的序号是

①④

．

分析：先理解所给的定义，根据其中的三个规则百负性，对称性，三角不等式对所给的四个函数进行验证，找出符合条件的函数，填上它的序号

解答：解：由所给的定义
对于①f（x，y）=|x-y|，显然f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号，故满足非负性，又|x-y|=|y-x|，故对称性成立，又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|，故第三个性质也满足，①符合题意
对于②，不妨令x-y=2，则有x-

x+y

-y=1，此时有（x-y）²=4，而　（x-

x+y

）²=（

x+y

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，
对于③，由于x-y＞0时，f(y，x)=