Question

设f(x)=(

x+1

x

)2（x＞0）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）
（2）若x≥2时，不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）从条件中函数式f(x)=(

x+1

x

)2=y，（x＞0）中反解出x，再将x，y互换即得f（x）的反函数f^-1（x）．
（2）利用（1）的结论，将不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)化成(a+1)

x

＞a2-1，下面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．

解答：解：（1）∵y=(

x+1

x

)2=(1+

1

x

)2（x＞0）∴y＞1（2分）
由原式有：

x+1

x

=

y

∴x+1=

y

x
∴x=

1

y -1

（2分）
∴f-1(x)=

1

x -1

x∈（1，+∞）（2分）
（2）∵(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)
∴(x-1)

1

x -1

＞a(a-

x

)（x＞0）
∴(

x

+1)(

x

-1)

1

x -1

＞a(a-

x

)
∴

x

+1＞a2-a

x

∴(a+1)

x

＞a2-1（2分）
①当a+1＞0即a＞-1时

x

＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜

2

+1
②当a+1＜0即a＜-1时

x

＜a-1对x≥2恒成立
∴a＞

2

+1此时无解（3分）
综上-1＜a＜

2

+1-（1分）

点评：本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．