Question

已知函数f(x)=6x–6x²，设函数g₁(x)=f(x), g₂(x)=f［g₁(x)］, g₃(x)=f ［g₂(x)］,…g_n(x)=f［g_n–1(x)］,…

（1）求证:如果存在一个实数x₀，满足g₁(x₀)=x₀，那么对一切n∈N，g_n(x₀)=x₀都成立；

（2）若实数x₀满足g_n(x₀)=x₀，则称x₀为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；

（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g₁(x)=f(x)=a＜0, g₂(x)=f［g₁(x)］=f(0)＜0，

且n≥2时，g_n(x)＜0  试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有g_n(x)＜0.

Answer 1

(1)证明略， (2) 稳定不动点为0和（3）只要n≥2,n∈N，都有g_n(x)＜0

解析:

(1)证明: 当n=1时，g₁(x₀)=x₀显然成立；

设n=k时，有g_k(x₀)=x₀(k∈N)成立，

则g_k+1(x₀)=f［g_k(x₀)］=f(x₀)=g₁(x₀)=x₀

即n=k+1时，命题成立.

∴对一切n∈N,若g₁(x₀)=x₀，则g_n(x₀)=x₀.

（2）解:由（1）知，稳定不动点x₀只需满足f(x₀)=x₀

由f(x₀)=x₀，得6x₀–6x₀²=x₀,∴x₀=0或x₀=

∴稳定不动点为0和.

(3)解:∵f(x)＜0，得6x–6x²＜0x＜0或x＞1.

∴g_n(x)＜0f［g_n–1(x)］＜0g_n–1(x)＜0或g_n–1(x)＞1

要使一切n∈N,n≥2，都有g_n(x)＜0，必须有g₁(x)＜0或g₁(x)＞1.

由g₁(x)＜06x–6x²＜0x＜0或x＞1

由g₁(x)＞06x–6x²＞1

故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,

只要n≥2,n∈N，都有g_n(x)＜0.