Question

已知函数f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x，
（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）时，f（x）的图象与x轴有四个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式将f（x）化为asin²x+（3-a）sinx-2a+6，通过换元转化为二次函数的最值问题，通过讨论对称轴与区间的位置关系，求出x∈[0，

π

2

]时f（x）的最小值；
（II）将已知条件转化为y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有两个不同的解，结合二次函数的图象，列出a满足的不等式，解不等式求出a的范围．

解答：解：（I）函数f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x
=asin²x+（3-a）sinx-2a+6
令sinx=t，则有t∈[0，1]，
所以y=at²+（3-a）t-2a+6，t∈[0，1]，
对称轴t=

1

2

-

3

2a

当0＜a＜3时，y=at²+（3-a）t-2a+6在[0，1]递增，
所以当t=0时，函数最小值为-2a+6；
当a≥3时，t=

1

2

-

3

2a

∈[0，1]，，所以当t=

1

2

-

3

2a

函数有最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

总之，函数的最小值为
当0＜a＜3时，最小值为-2a+6；
当a≥3时，最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

．
（II）因为x∈[0，2π）时，f（x）的图象与x轴有四个不同的交点，
等价于y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有两个不同的解，
所以

-1≤ 1 2 - 3 2a ≤1 3≥0 9-2a≥0

，
解得1≤a≤

9

2

．

点评：解决二次函数的最值问题，应该判断出对称轴与所在区间的相对位置关系，进一步判断出函数的单调性，求出函数的最值；解决二次方程的实根分布问题，应该画出相应的二次函数的图象，从对称轴、开口方向、区间端点函数值的符号三个方面，结合图象写出限制条件．