Question

已知函数f（x）=mx³+3x²-3x，m∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求m的值；
（2）设m＜0，若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f′（-1）=0，代入即可求出m的值．
（2）若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，则存在区间I⊆（2，+∞），使得x∈I时，f′（x）＞0，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²+6x-3．
因为函数f（x）在x=-1处取得极值，所以f'（-1）=0，
所以3m-6-3=0．
解得m=3．
（2）当m＜0时，f'（x）=3mx²+6x-3，是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，
应满足

m＜0 - 1 m ≥2 f′(- 1 m )＞0

或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0

解得-

1

2

≤m＜0或-

3

4

＜m＜-

1

2

，
所以m的取值范围是(-

3

4

，0)

点评：本题的考点是函数在某点取极值的条件，考查函数存在极值的性质：函数在x=x₀处取得极值，则f′（x₀）=0，但f′（x₀）=0，函数在x=x₀处不一定是极值点；区分函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间与函数f（x）在（2，+∞）单调递增是解题的关键．