Question

11．设f（x）=|x-3|+|x-4|．
（1）求函数$g（x）=\sqrt{2-f（x）}$的定义域；
（2）若存在实数x满足f（x）≤ax-1，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=|x-3|+|x-4|与直线y=2交点的横坐标为$\frac{5}{2}$和$\frac{9}{2}$，由此能求出不等式$g（x）=\sqrt{2-f（x）}$的定义域．
（2）函数y=ax-1的图象是过点（0，-1）的直线，作出图象，结合图象能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=|x-3|+|x-4|=\left\{{\begin{array}{l}{7-2x\;，\;\;x＜3}\\{1\;，\;\;3\;≤\;x\;≤\;4}\\{2x-7\;，\;\;x＞4}\end{array}}\right.$，
它与直线y=2交点的横坐标为$\frac{5}{2}$和$\frac{9}{2}$．
∴不等式$g（x）=\sqrt{2-f（x）}$的定义域为$[\frac{5}{2}\;，\;\;\frac{9}{2}]$．（5分）
（2）函数y=ax-1的图象是过点（0，-1）的直线，
作出图象，如下图：

结合图象可知，a取值范围为$（-∞\;，\;\;-2）∪[\frac{1}{2}\;，\;\;+∞）$．（10分）

点评 本题考查函数的定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．