Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
（1）若$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$∥2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，求实数k；
（2）若$\overrightarrow{d}$=（x，y），（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=1，求$\overrightarrow{d}$．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算，利用$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$∥2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，列出方程，求出k的值；
（2）根据平面向量的坐标表示，利用（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）和|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=1，列出方程组，求出向量$\overrightarrow{d}$的坐标表示．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1），
∴$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），
2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2）；
又$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$∥2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴2（3+4k）-（-5）•（2+k）=0，
解得k=-2；
（2）由$\overrightarrow{d}$=（x，y），
得$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，4）；
又（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴4（x-4）-2（y-1）=0，
即2（x-4）=y-1①；
又|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=1，
∴（x-4）²+（y-1）²=1②；
由①、②组成方程组，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{y=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{d}$=（4+$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或（4-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与坐标运算问题，也考查了解方程与方程组的应用问题，是基础题目．