Question

8．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和．等比数列{b_n}的前三项分别为a₂，a₅，a₁₁．
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）若a₁=1，$\overrightarrow{O{Q_n}}$=（${\frac{a_n}{n}$，$\frac{S_n}{n^2}}$）（n∈N^*），求|${\overrightarrow{O{Q_n}}}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接由a₂，a₅，a₁₁成等比数列求得数列{b_n}的公比q；
（2）写出等差数列的通项公式及前n项和，求得向量${\overrightarrow{O{Q_n}}}$的坐标，代入模的计算公式，结合n的范围利用配方法求得|${\overrightarrow{O{Q_n}}}$|的最大值．

解答 解：（1）∵a₂，a₅，a₁₁是等比数列，
∴$a_5^2={a_2}•{a_{11}}$，即${（{{a_1}+4d}）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+10d）$，
∴a₁=2d，$q=\frac{a_5}{a_2}=2$；
（2）∵${a_n}={a_1}+（n-1）d=（n+1）d=\frac{1}{2}（n+1）$，${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（n+3）}{4}$，
∴$\overrightarrow{O{Q_n}}=（{\frac{a_n}{n}，\frac{S_n}{n^2}}）=（{\frac{n+1}{2n}，\frac{n+3}{4n}}）$，
则$|{\overrightarrow{O{Q_n}}}|=\sqrt{{{（\frac{n+1}{2n}）}^2}+{{（{\frac{n+3}{4n}}）}^2}}=\sqrt{\frac{{5{n^2}+14n+13}}{{16{n^2}}}}=\sqrt{\frac{5}{16}+\frac{7}{8n}+\frac{13}{{16{n^2}}}}$
=$\sqrt{\frac{13}{16}{{（\frac{1}{n}+\frac{7}{13}）}^2}+\frac{1}{13}}$．
∵n≥1，∴$0＜\frac{1}{n}≤1$．
则$\sqrt{\frac{13}{16}{{（\frac{1}{n}+\frac{7}{13}）}^2}+\frac{1}{13}}≤\sqrt{2}$，当n=1时取等号．
∴$|{\overrightarrow{O{Q_n}}}|$的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，训练了向量模的求法，属中档题．