Question

已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，它的一个顶点为M（0，1），离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）求椭圆的方程，它的一个顶点为M（0，1），离心率e=

6

3

．建立方程

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

求同a，b，即可得到椭圆的方程．
（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．

解答：解：（1）设c=

a2-b2

，
依题意得

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

（2分）解得

a= 3 b=1

．（3分）∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．．（4分）
（2）①当AB⊥x轴时，|AB|=

3

．（5分）
②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，．．（6分）
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

（7分）
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(1+k2)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

(k≠0)≤3+

12

2×3+6

=4．
当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立，此时|AB|=2．（10分）
③当k=0时，|AB|=

3

（11分）
综上所述：|AB|_max=2，
此时△AOB面积取最大值S=

1

2

|AB|max×

3

2

=

3

2

（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解答本题关键是对直线AB的位置关系进行讨论，可能的最值来，本题由于要联立方程求弦长，故运算量比较大，又都是符号运算，极易出错，做题时要严谨认真．利用弦长公式求弦长，规律固定，因此此类题难度降低不少，因为有此固定规律，方法易找，只是运算量较大．