Question

已知椭圆

x2

a

+

y2

b

=1(a＞b＞0)过点(1，

3

2

)，且离心率为

1

2

，A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若

AF

=λ

FB

(λ∈R)，且|

AF

|≠|

FB

|，其中F为椭圆的左焦点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，因为椭圆过（1，

3

2

），所以把（1，

3

2

）代入椭圆方程成立，再根据a，b，c的关系式，就可解出a，b的值，求出椭圆的方程．
（Ⅱ）先设出AB方程，与椭圆方程联立，求A，B点横坐标之和，纵坐标之和，再用A，B点坐标表示AB中点坐标，根据线段AB的垂直平分线过AB中点，且垂直AB，斜率是AB斜率的负倒数，即可写出线段AB的垂直平分线方程，再令x=0，得到纵截距，用均值不等式求范围即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，

12 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）A，B是椭圆上纵坐标不为零的两点，

AF

=λ

FB

(λ∈R)
∴A，F，B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0
又F（-1，0），可记AB方程为y=k（x+1），代入椭圆的方程，化简，得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，显然△＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

=

-4k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+1）=

3k

3+4k2

直线AB的垂直平分线方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令x=0，得，y=-

k

3+4k2

=-

1

4k+ 3 k

∵|4k+

3

k

|≥4

3

，当且仅当|k|=

3

2

时取“=“
∴4k+

3

k

≥4

3

或4k+

3

k

≤-4

3

∴线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为[-

3

12

，0]∪（0，

3

12

]．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及椭圆与不等式相结合求范围，做题时要细心．