题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ ．当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1（n∈N^*）
（1）证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项；
（3）若数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求{b_n}的前n项和S_n．

解：（1）由题意，当n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1?3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$
累加得 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
分析：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{a_n+1-a_n}成等比数列．
（2）利用等比数列的通项公式求出a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^n-1，利用累加可求出数列{a_n}的通项公式．
（3）利用分组求和，以及错位相消的方法可求出{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．

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