题目内容

设a,b,c是任意非零的平面向量,且互不共线,给出下列四个命题,其中是真命题的有（    ）

①(a·b)·c-(c·a)·b=0  ②|a|-|b|＜|a-b|  ③(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直  ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

A.①②            B.③④            C.①③           D.②④

解析:对于①,由于b,c是两个不共线的非零向量,

又a·b与c·a都是实数,

所以a·b=0,c·a=0.

又因为a,b,c是非零向量,

∴b⊥a,c⊥a.

故b∥c,这与b,c不共线矛盾,所以①是假命题.

对于命题②,由向量减法法则及三角形两边之差小于第三边,可知命题②是真命题.

对于命题③,因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,

所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直.故命题③是假命题.

对于命题④,由向量加法,数乘向量,数量积都满足交换律,结合律,分配律,

所以(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.故命题④是真命题.

答案:D

练习册系列答案
相关题目
设
a
、
b
、
c
是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论
①（
a
•
b
）•
c
-（
c
•
a
）•
b
=
0
   
②|
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|
③（
b
•
c
）•
a
-（
c
•
a
）•
b
不与
c
垂直
④（3
a
+2
b
）•（3
a
-2
b
）=9
a2
-4
b2

其中正确的叙述有
②④
②④
．
设
a
，
b
，
c
是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题：
（1）(
a
•
b
)
c
-(
c
•
a
)
b
=
0
，
（2）|
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|，
（3）(
b
•
c
)
a
-(
a
•
c
)
b
不与
c
垂直，
（4）(3
a
+4
b
)•(3
a
-4
b
)=9|
a
|2-16|
b
|2．
其中正确的命题有（　　）

设a、b、c是任意非零共面向量，且相互不共线，那么假命题的序号是________．

①a⊥b|a＋b|＝|a－b|

②|a|＝|b|(a＋b)⊥(a－b)

③(a·b)·c＝(b·a)·c

④16|a|2－25|b|2＝(4a－5b)2
设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:

①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;

③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

其中正确的是(    )

A.①②              B.②③                C.③④                  D.②④

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