题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=
．
（1）若
•
=
，求a+c的值；
（2）求
+
的值．
| 3 |
| 4 |
（1）若
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
（2）求
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
分析：（1）由条件求得b2=ac=2，再由余弦定理求得（a+c）2=a2+c2+2ac=9，由此求得a+c的值．
（2）由cosB=
求得 sinB 的值，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，代入要求的式子化简求得结果．
（2）由cosB=
| 3 |
| 4 |
解答：解：（1）由
•
=
可得 ac•cosB=
，因为 cosB=
，所以b2=ac=2．
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得a2+c2=b2+2accosB=5，
则（a+c）2=a2+c2+2ac=9，故a+c=3．
（2）由cosB=
可得 sinB=
．
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，
于是
+
=
=
=
=
=
．
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得a2+c2=b2+2accosB=5，
则（a+c）2=a2+c2+2ac=9，故a+c=3．
（2）由cosB=
| 3 |
| 4 |
| ||
| 4 |
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，
于是
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
| sinCcosA+cosCsinA |
| sinAsinC |
| sin(A+C) |
| sin2B |
| sinB |
| sin2B |
| 1 |
| sinB |
4
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
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