题目内容

（理）已知cos（
π
4
-x）=a，且0＜x＜
π
4
，则
cos2x
cos(
π
4
+x)
的值用a表示为
 
．
分析：由x的范围求出
π
4
-x的范围，根据cos（
π
4
-x）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（
π
4
-x）的值，利用诱导公式求出所求式子分母的值，将cosx=cos[
π
4
-（
π
4
-x）]，求出cosx的值，进而确定出cos2x的值，代入计算即可求出值．
解答：解：∵0＜x＜
π
4
，
∴0＜
π
4
-x＜
π
4
，
∵cos（
π
4
-x）=a，
∴sin（
π
4
-x）=
1-a2
，
∴cos（
π
4
+x）=cos[
π
2
-（
π
4
-x）]=sin（
π
4
-x）=
1-a2
，
cosx=cos[
π
4
-（
π
4
-x）]=
2
2
×a+
2
2
×
1-a2
=
2
2
（a+
1-a2
），
即cos2x=2cos2x-1=2×
1
2
（a+
1-a2
）2-1=a2+1-a2+2a
1-a2
-1=2a
1-a2
，
则原式=
2a
1-a2
1-a2
=2a．
故答案为：2a
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
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（理）已知函数g（x）=1-cos（
π
2
x+2ψ）（0＜ψ＜
π
2
）的图象过点（1，2），若有4个不同的正数xi 满足g（xi）=M，且xi＜8（i=1，2，3，4），则x1+x2+x3+x4等于（　　）
（理）已知α、β均为锐角，cos(α+β)=-
4
5
，若设sinβ=x，cosα=y，则y关于x的函数关系为
y=-
4
5
1-x2
+
3
5
x，（
3
5
＜x＜1）
y=-
4
5
1-x2
+
3
5
x，（
3
5
＜x＜1）
．
（理）已知tan(
π
4
+α)=2，则
sinα-cosα
sinα+cosα
=（　　）
（理）已知cosα=-
12
13
，α∈(
π
2
，π)，则tan（
π
4
+α）的值是
 
．

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