Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，请确定点D的位置，若不存在，请说明理由；
（3）请指出点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接A₁B交AB₁于E点，由A₁D=DC₁，结合三角形中位线定理可得DE∥BC₁，进而根据线面平行的判定定理得到直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）过点D作DN⊥AB₁于N，过D作DM⊥A₁B₁于M，由线面垂直的判定定理及同一法，可得M、N应重合于B₁点，由点D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，故不存在这样的点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
（3）连接MN，过A₁作A₁F⊥AB₁于F．由（2）的结合可得∠MND为二面角A₁-AB₁-D平面角，设

A1D

A1C1

=λ，由二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2，我们易构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可指出点D的位置．

解答：解：（1）证明：连接A₁B交AB₁于E点，
在平行四边形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁…（2分）
∴DE为△A₁BC₁的中位线，从而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直线BC₁∥平面AB₁D…（4分）
（2）假设存在点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，
过点D作DN⊥AB₁于N，则DN⊥平面ABB₁A₁，
又过D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故M、N应重合于B₁点，此时应有DB₁⊥A₁B₁，故∠A₁B₁D=90°，…（7分）
又点D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，
显然矛盾，故不存在这样的点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．…（9分）
（3）连接MN，过A₁作A₁F⊥AB₁于F．
由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A₁-AB₁-D平面角，…（10分）
设

A1D

A1C1

=λ，则

A1M

A1B1

=

λ

2

，
则可得DM=

3 a

2

λ，A1F=

3

3

a，

MN

A1F

=1-

λ

2

⇒MN=

3 a

3

(1-

λ

2

)，…（12分）
∴tanθ=

DM

MN

=

3 a 2 λ

3 a 3 (1- λ 2 )

=-3+

6

2-λ

．∴-3+

6

2-λ

=2⇒λ=

4

5

即点D在棱A₁C₁上，且

A1D

A1C1

=

4

5

时，
二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2．  …（14分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得DE∥BC₁，（2）的关键是使用反证法和同一法等间接手法进行证明，（3）的关键是根据已知条件构造关于λ的方程．