Question

13．f（x）=$\frac{alnx}{x+1}$+$\frac{b}{x}$在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．设h（x）=（x+1）f（x），求函数h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a=b=1，再求h（x）的导数，令导数大于0，可得增区间；令导数小于0，可得减区间．

解答 解：f（x）=$\frac{alnx}{x+1}$+$\frac{b}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{a+\frac{a}{x}-alnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
由在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0，
可得f（1）=1，f′（1）=-$\frac{1}{2}$，
即为b=1，$\frac{a}{2}$-b=-$\frac{1}{2}$，解得a=b=1，
即有f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，
则h（x）=（x+1）f（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减．
则函数h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查直线方程的运用，运算求解能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．