题目内容
5．在直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知圆C的极坐标方程是ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-1+2\sqrt{2t}}\end{array}\right.$（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点，（1）求圆C的圆心的极坐标；
（2）求三角形PAB面积的最大值．
分析 （1）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将C的极坐标方程化成直角坐标方程，可得圆C的圆心的极坐标；
（2）求出P到直线AB距离的最大值，|AB|，即可求三角形PAB面积的最大值．
解答 解：（1）圆C的极坐标方程是ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），化为ρ=2cosθ-2sinθ，
∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，
由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得x2+y2-2x+2y=0，即（x-1）2+（y+1）2=2，
∴圆心坐标为（1，-1），极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）；
（2）直线的普通方程为2$\sqrt{2}$x-y-1=0，
圆心到直线l的距离为d=$\frac{|2\sqrt{2}+1-1|}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴弦长|AB|=2$\sqrt{2-\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵P到直线AB距离的最大值为$\sqrt{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴三角形PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{10}}{3}×\frac{5\sqrt{2}}{3}=\frac{10\sqrt{5}}{9}$．
点评 本题是中档题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{3}{8}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{5}{8}$ |