Question

20．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（Ⅰ）若f（α）=$\frac{2}{3}$，求f（α-$\frac{π}{12}$）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠B=$\frac{π}{4}$，AC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得f（α-$\frac{π}{12}$）的值．
（Ⅱ）在△ABC中，根据 f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得A的值，可得△ABC的面积．

解答 解：：（Ⅰ）∵f（α）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，∴cos（2α+$\frac{π}{6}$）=±$\sqrt{{1-sin}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}$=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故f（α-$\frac{π}{12}$）=sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$±$\frac{\sqrt{5}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{5}}{6}$．
（Ⅱ）在△ABC中，∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13}{6}$π，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{2}{3}$π，即A=$\frac{π}{12}$或A=$\frac{π}{4}$．
当A=$\frac{π}{12}$时，C=$\frac{2}{3}$π，a=2$\sqrt{2}$sinA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$•2$\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$-1，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
当A=$\frac{π}{4}$时，C=$\frac{π}{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=2．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于中档题．