Question

（本小题满分14分）已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．

⑴求椭圆的方程；

⑵当直线过点时，求直线的方程；

⑶（本问只作参考，不计入总分）当时，求菱形面积的最大值．

Answer 1

解：⑴依题意，……1分，解……2分，得……3分，所以，……4分，椭圆的方程为……5分。

⑵直线：……7分，设：……8分，由方程组得……9分，当时……10分，、的中点坐标为，……12分，是菱形，所以的中点在上，所以……13分，解得，满足，所以的方程为……14分。

⑶（本小问不计入总分，仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用）因为四边形为菱形，且，所以，所以菱形的面积，由⑵可得

，因为，所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为。